Points et vocabulaire
Objectif : bien représenter un point, puis reconnaître et noter segment, droite et demi-droite.
Matériel : cahier + crayon.
J’ai réussi si… je choisis la bonne notation sans aide.
1
Accroche
Bien dessiner un point, c'est plus subtil qu'il n'y paraît
Voici 6 façons de représenter un point nommé P. Avant toute règle, vote pour chacune : correcte (OUI) ou pas (NON) ? Compare ensuite avec les réponses officielles.
Le vrai piège : deux critères comptent en réalité — la marque doit rester petite et précise (une croix ou un plus, jamais un gros symbole), et la lettre doit rester lisible, séparée de la marque. Une lettre seule sans marque ne suffit pas non plus !
2
Le cours
Vocabulaire, longueurs et positions de droites
1. Les objets de base
Point — Un point représente une position précise. On le représente par une petite croix et on le nomme avec une lettre majuscule, par exemple A, B ou C.
Deux points distincts sont deux points qui ne sont pas confondus. Sur une figure, deux points distincts ne peuvent pas porter le même nom.
Segment [AB] — Le segment [AB] est la partie de droite comprise entre les points A et B. Les points A et B sont les extrémités du segment.
Droite (AB) — Une droite est une ligne droite illimitée des deux côtés. La droite passant par A et B se note (AB). Par deux points distincts passe une seule droite. Une droite peut aussi être nommée par une lettre, par exemple (d).
Demi-droite [AB) — Une demi-droite est une partie de droite limitée d'un côté et illimitée de l'autre. La demi-droite [AB) a pour origine A et passe par B.
Segment [AB]Deux extrémités
Droite (AB)Illimitée des deux côtés
Demi-droite [AB)Une origine, puis l'infini
2. Alignement et appartenance
Points alignés — Des points sont alignés lorsqu'ils appartiennent à une même droite.
Si le point M est situé sur la droite (d), on écrit M ∈ (d) et on lit « M appartient à la droite (d) ». Si N n'est pas situé sur (d), on écrit N ∉ (d).
Petite curiosité : le symbole ∈ vient de la lettre grecque « ε » (epsilon), utilisée pour évoquer l'appartenance.
Quand plusieurs points sont alignés, une même droite peut porter plusieurs noms : si A, B et C sont alignés sur (d), on peut écrire (AB), (BA), (AC), (CA), (BC), (CB) ou (d).
3. Segment et longueur : ne pas les confondre
[AB] et AB ne désignent pas la même chose.
[AB] désigne le segment, c'est-à-dire l'objet géométrique.
AB désigne la longueur du segment [AB].
[AB] désigne le segment, c'est-à-dire l'objet géométrique.
AB désigne la longueur du segment [AB].
Deux segments ont la même longueur lorsqu'ils sont superposables. Pour comparer ou reporter une longueur sans la mesurer, on peut utiliser le compas.
À retenir : dans une égalité de longueurs, on n'utilise pas les crochets. On écrit par exemple AB = CD, et non [AB] = [CD].
4. Distance
Distance — La distance entre deux points A et B est la longueur du segment [AB]. Elle se note AB.
Une distance mesurée doit être accompagnée d'une unité : par exemple AB = 4 cm.
5. Milieu d'un segment
Milieu — Le milieu d'un segment est le point de ce segment qui le partage en deux segments de même longueur.
Dire que M est le milieu de [AB] signifie que les deux conditions suivantes sont vérifiées : M ∈ [AB] et AM = MB.
6. Positions relatives de deux droites
Droites sécantes — Deux droites sont sécantes lorsqu'elles ont un seul point commun. Ce point est appelé leur point d'intersection.
Droites perpendiculaires — Deux droites sont perpendiculaires lorsqu'elles sont sécantes et forment un angle droit. On peut écrire (d) ⊥ (d').
Droites parallèles — Deux droites sont parallèles lorsqu'elles ne sont pas sécantes. On peut écrire (d) // (d').
Attention : deux droites perpendiculaires sont aussi des droites sécantes, puisqu'elles se coupent en formant un angle droit.
Droites concourantes — Au moins trois droites sont concourantes lorsqu'elles passent toutes par un même point.
7. Constructions à connaître
À la fin de ce chapitre, tu dois savoir construire la perpendiculaire à une droite passant par un point et construire la parallèle à une droite passant par un point à l'aide de la règle et de l'équerre. Les protocoles sont détaillés plus bas dans le parcours.
🐢 Les notations à retenir
[AB] : segment · (AB) : droite · [AB) : demi-droite d'origine A · AB : longueur du segment [AB] · ∈ : appartient à · ∉ : n'appartient pas à · ⊥ : perpendiculaire · // : parallèle.
🚀 Pour aller plus loin
Si 4 points A, B, C et D sont alignés sur une même droite, combien de noms différents à deux lettres peut-on former pour cette droite en comptant (AB) et (BA) comme deux noms différents ? Indice : choisis une première lettre parmi 4, puis une seconde parmi les 3 restantes.
3
Activités guidées
Trois défis, trois niveaux
Activité 1 — Placer un point facile
Un point P doit-il être visible en tant que croix bien nette pour être valable dans chacun de ces trois cas ?
a) P est placé sur une droite, avec une croix fine exactement sur le trait.
b) P est placé à l'intersection de deux droites qui se croisent.
c) P est placé comme sommet d'un triangle, marqué par une simple croix au bon endroit (sans repasser tout l'angle).
Voir la correction
Dans les trois cas, la réponse est OUI — à condition que la croix soit fine et précisément positionnée. Une erreur fréquente : dessiner un point à côté de la droite plutôt que dessus, ou repasser tout un sommet de triangle au lieu de marquer une croix ponctuelle.
Activité 2 — Lire la notation moyen
Sur une droite (d), trois points A, B, C sont alignés dans cet ordre. Un point D est en dehors de la droite.
a) Complète : B ... (d)
b) Complète : D ... (d)
c) Donne 3 autres noms possibles pour la droite (d).
Voir la correction
a) B ∈ (d) — B appartient à la droite.
b) D ∉ (d) — D n'appartient pas à la droite.
c) Par exemple (AB), (AC), (BC) (ou toute autre combinaison de deux des trois lettres).
b) D ∉ (d) — D n'appartient pas à la droite.
c) Par exemple (AB), (AC), (BC) (ou toute autre combinaison de deux des trois lettres).
Activité 3 — Compter les noms défi
Quatre points D, A, B, C sont alignés sur une même droite (d), dans cet ordre. Sans compter (d) elle-même, combien de noms différents à deux lettres (comme (DA) ou (AD)) peut porter cette droite ?
Voir la correction
Il y a 4 lettres, donc 4 × 3 = 12 noms possibles (chaque paire ordonnée de deux lettres différentes parmi les 4). Avec (d), cela fait 13 noms en tout pour la même droite !
4
Expérience en classe
Le compas ne triche jamais
Matériel : une feuille, une règle, un compas.
Deux segments ont la même longueur lorsqu'on peut les superposer. Le compas permet de reporter une longueur sans la mesurer, simplement en gardant le même écartement.
Protocole 1 — Reporter la longueur d'un segment [AB]
1
Trace une demi-droite d'origine M. Prends l'écartement AB avec ton compas (une pointe sur A, l'autre sur B).
2
Sans changer l'écartement, pique la pointe sèche en M et trace un arc de cercle qui coupe la demi-droite.
3
Nomme N le point d'intersection obtenu, puis code en vert les segments [AB] et [MN] : ils ont la même longueur.
Attention : pour une distance, il ne faut jamais oublier de préciser l'unité (cm, mm...). Et dans une égalité de distances comme AB = MN, on ne met jamais de crochets — les crochets ne servent qu'à désigner le segment lui-même, pas sa longueur.
Protocole 2 — Construire le milieu M d'un segment [AB]
1
Ouvre ton compas avec un écartement supérieur à la moitié de AB. Pique en A et trace un grand arc de part et d'autre du segment.
2
Sans changer l'écartement, pique en B et trace un second arc qui coupe le premier en deux points.
3
Relie ces deux points d'intersection à la règle : cette droite coupe [AB] exactement en son milieu M, avec AM = MB.
🐢 Version simplifiée
Fais le protocole 1 seul(e) d'abord, en suivant les 3 étapes une par une, sans passer à la suivante avant d'avoir vérifié la précédente avec ton binôme.
🚀 Pour aller plus loin
Construis le milieu M d'un segment [AB] qui est collé sur le bord de ta feuille (tu ne peux tracer les arcs que d'un seul côté). Indice : la remarque du cours dit qu'on peut changer l'écartement pour tracer un second point de construction du même côté que le premier.
5
Construire, puis jouer
Tracer à l'équerre, puis trier les droites
Protocole 3 — Construire la perpendiculaire à (d) passant par A
1
Place un côté de l'équerre le long de la droite (d).
2
Fais glisser l'équerre le long de (d) jusqu'à ce que son second côté (celui qui forme l'angle droit) touche le point A.
3
Maintiens fermement l'équerre dans cette position, bien alignée sur (d) et passant par A.
4
Trace le long de ce second côté : tu obtiens la droite passant par A et perpendiculaire à (d).
Protocole 4 — Construire la parallèle à (d) passant par A
1
Place un côté de l'équerre le long de la droite (d).
2
Place une règle contre le second côté de l'équerre, et maintiens la règle fixe.
3
Fais glisser l'équerre le long de la règle (la règle ne bouge pas) jusqu'à ce que le premier côté de l'équerre atteigne le point A.
4
Vérifie que ce côté passe bien par A, sans faire bouger la règle.
5
Maintiens l'équerre fermement dans cette position.
6
Trace le long de ce côté : tu obtiens la droite passant par A et parallèle à (d).
Astuce : dans les deux cas, l'équerre glisse toujours le long d'un guide fixe (la droite (d) elle-même, ou la règle) — c'est ce glissement qui garantit la précision du tracé.
Maintenant, entraîne ton œil
Classe chaque paire de droites dans la catégorie la plus précise : // parallèles (elles ne se croisent jamais), ✕ sécantes non perpendiculaires (elles se croisent sans former d’angle droit), ou ⊥ perpendiculaires (elles sont sécantes et forment un angle droit).
Score : 0 / 0
Le sais-tu ?
Chez les Romains, « perpendiculum » désignait le fil à plomb. En ancien français, « perpendicle » signifiait la verticale.
Remarque : Trois droites ou plus qui se coupent toutes en un même point sont dites concourantes.
🛠️ Aide visuelle — tracer une perpendiculaire avec règle + équerre
La règle marron reste fixe et sert de guide. L'équerre bleue reste en appui contre elle et glisse sans tourner jusqu'à ce que son côté perpendiculaire passe par A. On trace alors la perpendiculaire.
🛠️ Aide visuelle — tracer une parallèle
La règle marron reste immobile. Elle sert de guide. L'équerre bleue glisse contre cette règle sans tourner : son côté de tracé garde donc exactement la même direction que (d). Quand il passe par A, on trace la parallèle.
6
Exercices progressifs
À toi de jouer
Réponds directement : la correction apparaît après ton choix.
1 · Facile 🐢
Si M ∈ (AB), alors M est aligné avec A et B.
2 · Moyen
ABCD est un losange. Quelle égalité de longueurs est correctement écrite ?
3 · Difficile 🚀
(d₁) ⊥ (d₂) et (d₂) ⊥ (d₃). Quelle est la position de (d₁) et (d₃) ?
4 · Facile
Quel objet géométrique est illimité des deux côtés ?
5 · Facile 🐢
Quelle notation désigne la demi-droite d'origine A passant par B ?
6 · Moyen
Les droites (d) et (d') sont perpendiculaires. Peut-on dire qu'elles ne sont pas sécantes ?
7 · Moyen
M appartient à [AB] et AM = MB. Que représente M ?
8 · Moyen
Par deux points distincts A et B, combien passe-t-il de droites ?
9 · Difficile 🚀
Quatre points A, B, C et D sont alignés. En comptant (AB) et (BA) comme deux noms différents, combien de noms à deux lettres peut-on former pour cette même droite ?
10 · Difficile 🚀
Quel instrument permet de reporter une longueur sans la mesurer numériquement ?
Score : 0 / 10
7
Évaluation rapide
Vérifie ce que tu as retenu
Pour terminer le chapitre 2
Retrouve les deux documents pour réviser et mémoriser l'essentiel.